组成论：第二十一章其他

张学文

2003年3月公布于熵、信息、复杂性网站

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本章是第三篇的最后一章，它补充了一些应用最复杂原理分析问题的例子、讨论了分布函数和复杂程度随时间的变化问题，还对第三篇做了小结。

§21.1社会财富分配问题

社会财富分配问题是经济学和政治学研究的重要问题。但是这不应当妨碍最复杂原理用于其中。确实，换一个角度分析社会问题也许会为经济学带来一些新空气。

社会财富分配问题可以提为拥有不同财富的个人各有多少。这显然是组成论对问题的典型提法。用这种方法提出问题很容易引入最复杂原理和分布函数的知识。

在第二篇我们仔细讨论了“斩乱麻问题”。得到的结论是有限长度的绳子被随机切成N个线段。根据最复杂原理和对应的约束，不同长度的线段占有的数量服从负指数分布，即特别长的线段非常少，而多数线段都很短。

如果考虑有N个分子共同具有总量为Q的动能，分子通过随机性的碰撞可以交换彼此的能量，那么套用斩乱麻模型，可以得到分子运动的动能也应当服从负指数分布。类似地，有100个猴子自由竞争有限数量的花生米，得到不同数量的花生米的猴子的数量也应当符合负指数关系，多数猴子得到很少的花生米而很少数的猴子得到很多花生米。

某个社会由N 个成员组成，社会财富的总量Q为有限值，如果这些财富在人群中的分配有随机性（自由竞争，抢夺），而且社会对人们占有财富再没有其他的约束条件。那么社会成员的财富分配问题与斩乱麻问题有着完全对应的约束条件（表21-1）。

 表21-1斩乱麻问题与社会财富分配问题的一种对比

 表21-1列出了斩乱麻问题和社会财富分配问题的一种对比。它说明这两个问题的物理变量尽管不同，但是可以套用相同的模型（在物理学中这一类的例子太多了）。所以拥有不同财富的人数也应当服从负指数分布：多数人很贫穷，极少数很富有。看来用最复杂原理很容易证明马克思对资本主义初级阶段的描述。看来组成论进入社会科学也不难，而且是定量的（公式请看第二篇）。

我们可以把这样的社会理解为政府对自由竞争不加干涉（政府不强加约束条件）的结果。如果约束条件变了，分布函数的形状也会变了。20世纪50年代中国政府的平分土地政策是另外一种强制的分配土地的办法。每人都有三亩地也对应一种分布函数（概率论中的点分布）。它是政府非常强的约束条件的极端后果。这种土地分配（占有不同数量的土地的成员各有多少）对应的复杂程度是零（清一色的每人三亩地）。而根据最复杂原理，这种复杂程度为零的社会的自发倾向是使财富不均一(熵加大)。所以平分土地的结局是很难长期维持下去的。

有随机性的广义集合最容易呈现的分布函数是与约束条件密切相关的。这种约束条件既可以是自然界具有的，也可以是由社会加给其成员的。现代社会具有的各种法律、规章都是对社会的有力约束。通过不同的法律法规来调节社会上的不同成员的利益是大家容易看到的现象。从最复杂原理的角度看，这些法律、法规就具有约束条件的作用。

要把法律、法规具体化为数学约束公式并且参加最复杂原理的数学求解，我们目前还没有那么细的工作。但是我们也注意到社会财富的总量为固定值的约束等价于财富的代数（算术）平均值为常数。另外在第18章还知道代数平均值不变如果配合几何平均值不变，那么利用最复杂原理得到的分布函数就是Gamma分布。而财富按Gamma分布的特点是中产阶级多，贫穷者与富翁都少。应当说这样的社会比较稳定。但是如何使社会财富的几何平均值不变？这可能就得靠社会服从某种法律、法规来实现了。政府与社会要实现人人的政治平等可能还比较容易，要实现财富的人人平等可能非常难。但是它制定和执行一些法律、法规以体现财富的几何平均值为常数可能比较容易。政府如果通过对贫穷者的扶助和对富翁的限制使后一个约束得以实现，一个多数人为中产阶级的社会就会出现。

什么是管理？管理就是制定和执行某些约束。知道最复杂原理总是使事情自动地变得更复杂，就会在执行管理时（制定政策、法律、法规）十分慎重。80年代面对自由市场有一个口号：管而不死，活而不乱。这个口号体现了人为约束的存在又承认了最复杂原理对社会的制约作用。

最复杂原理不是社会科学的敌人，它是约束社会现象的规律。理解、掌握、运用它可以提高管理水平，使多数社会成员比较满意，又推进社会进步。否认它可能总是让我们在管理社会方面付出数不清的学费。

根据上面分析，把最复杂原理用到社会现象中，我们有下面的初步认识：

1.       最复杂原理可以分析社会现象（定性或者定量）。它的直观理解就是社会总是自动地日趋复杂。这种更复杂可以体现在社会从原始社会走向现代社会，也可以体现在人工制造的设备更加复杂等很多方面（一些政策一执行就出问题,经常是对社会的自动的复杂化考虑不够，或者说对最复杂原理认识、掌握不够）。

2.       分布函数可以定量描述社会现象，在最复杂原理作用下，分布函数究竟有什么特点与约束条件有关。具体分布函数的公式可以参考第十七、十八章的例子和统计物理学的例子。

3.       对社会现象，其约束条件包括自然约束还包括由人类行为导致的社会约束，法律、道德、制度，乃至黑社会势力都是其例。

4.       管理就是人为地进行（制造）对社会的约束。好的管理会利用最复杂原理使多数人比较满意，社会也比较稳定。

5.       最复杂原理在社会现象中的定量应用还有大量的工作要做。

 上面主要讨论了最复杂原理在社会现象（科学）中的应用。至于用分布函数描述社会现象的问题，应当说人们已经不自觉地做了很多工作，有了分布函数概念，还可以方便地把很多含糊的问题归结为寻找一个分布函数问题。

§21.2物种分布问题

把所有的活着的生物看作是一个总体（地球生态系统），把每个活着的生物看作是一个个的个体，把每种生物的物种名称作为标志值（离散的），于是就有了一个明确的广义集合。对此可以问2004年元旦地球上不同物种的生物各有多少个。这个问题即具有明确的生态学意义又符合组成论中对分布函数的定义。这就是我们要提出的生物物种的分布函数问题。

这个问题固然含义清楚，但是让生态学回答实在非常不容易。因为这不仅要确切知道地球上的人口数量，还要知道各种家畜的数量，大象、鲸这些大的动物的数量，而且还要知道各种生物，包括单细胞生物以至病毒的数量。

具体得到这个分布函数太困难，我们可以退而求其次：不去过问每种生物的存活量，仅要求知道体重在某个区间的生物的存活个数有多少。例如体重在10克到20克的活着的生物（很多种昆虫）有多少个、体重在50到60公斤的生物（可能把人和羊猪混同到一起了）有多少。于是这个简化的问题是：

地球上现在存活的不同体重的生物各有多少。

这个问题仍然符合我们对分布函数的定义。为了体现这个函数，我们可以设想一张直角坐标图，其横坐标是体重的对数值，而纵坐标是该体重（区间）所有生物物种的存活量的对数值。这个图也就是在双对数坐标下的生物物种的数量分布函数图。笔者不是生态或者生物学者，90年代初收集了表21-2中的数据。它们给出了6种生物的体重（平均值）和存活数量（应当理解为在该相对体重附近，如2%，的区间内）。

表21-2 地球上不同物种的存活数量

 地球是一个资源有限的环境，任何生物的存活都要占用一定的水分、氧气、能量等等。同一时刻地球可以有多少不同体重的生物存活既与地球环境有关，也有随机性，于是我们有理由指望最复杂原理对这个分布函数有约束作用。或者说利用最复杂原理和约束条件可能求得理论的生物体重与存活量的函数关系。

有趣的是当我把这些数据点到前面提到的双对数坐标图上时（不是凑了多次凑出来的是一次成功的），我发现这些来源不一的数据竟然基本在一条直线上，相关系数-0.9，（见图21-1）。1992年的《自然信息》杂志（后来停刊）发表我的对应文章（第3期，35-38页,2002年重读时发现有一些欠妥的理解和处理但是不影响基本结论）。

我们已经研究过具有随机性的事物（服从最复杂原

图21-1 不同物种的体重与存活数量的关系

理）在几何平均值为常数情况下的分布函数。它就是第十七章给出的幂分布函数。所以，我们已经用最复杂原理和几何平均值不变解释了生物物种为什么服从这种分布。

附带指出，有了幂函数形状的分布函数就可以根据复杂程度公式计算对应的生物领域的复杂程度。这就使第二十章讨论的生物进化问题可以用复杂程度的增加来定量描述了。

大约50 年前，人们在生态系统研究中提出了关于食物链的“十一律”，形象地说就是大鱼的数量是小鱼的数量的1/10，而小鱼的数量又是虾米数量的1/10。 生物世界的这种比例固定的关系的更深刻的描述，可能就是我们初步得到的幂分布律。当然，幂分布是否真的适合生物物种分布还得做大量的资料调查、统计、分析和检验工作。

我们眼下没有更多的理由说地质时期的生物物种不服从幂分布，而那时地球上曾经出现过比大象大很多的恐龙。如果那时的恐龙的数量比现在的大象的数量还要多很多，那么当时地球上的其他生物的数量也成比例的扩大几个数量级。恐龙灭绝不是一个孤立事件，它伴随着大量生物的数量减少和物种的减少。

把最复杂原理用到生物进化研究中显然是新鲜的有趣的待完成的和有益的。

§21.3最大熵方法