投资组合的熵理论及信息价值

鲁晨光

摘要:用几何平均收益取代M. H. Markowitz 用的算术平均收益和标准方差作为投资组合的评价标准, 于是得到增值熵——广义熵的一种, 它反映资金的增值速度,是一个更加客观的且可检验的测度。文中讨论了投资组合优化和通信编码优化的相似性，提供了一个优化投资比例的简单实用公式和一些投资组合优化实用例子。同时文中提出了基于新的投资组合理论的信息价值测度,分析了它和K. J. Arrow的信息价值测度的异同,讨论了如何用新的信息价值测度作为准则评价和优化预测。

关键词: 投资组合, 优化准则, 增值熵,  信息价值, 预测评价和优化

Entropy Theory of Portfolio and Information Value

Lu, Chenguang

Abstract: Replacing arithmetic mean return and standard deviation  adopted by  M. H. Markowitz  with geometric mean return as criterion of assessing a portfolio, we have incremental  entropy: one of generalized entropies.  It indicates the increasing speed of capital and is a more objective and testable measure.This paper discusses the similarity between optimization of communication coding and that of portfolio, provides a simple and applicable formula for optimizing investment ratios and some applicable samples showing the optimization of a portfolio.  The paper also presents a  information-value  measure based on the new portfolio theory,  analyses  difference and similarity  between this measure and  K.J. Arrow’s information-value measure, and discusses how to optimize forecasts with new information-value measure as criterion.

Keywords: portfolio, criterion of optimization, incremental entropy, information value，evaluation and optimization of  forecasts

1.     引言

笔者曾提出基于广义熵的广义信息理论, 并证明了广义信息测度也有其编码意义[1-3]. 后来笔者又发现一种新的广义熵(增值熵)可用于投资组合(portfolio)优化[4,5]。结合新的投资组合理论和笔者建立的广义信息理论, 可以得到一个新的含义明确的信息价值测度——它表示我们总是按最优方式决策时信息导致的资金增值速度的增量。本文将新理论作一简要介绍。

2.     从掷硬币打赌看Markowitz 理论的缺陷

首先我们从一个具体的例子看投资组合优化问题。

例1. 设有一种投资或者说赌博, 它的盈亏是不确定的并且由掷硬币确定, 出A面你投一赚二, 出B面你投一亏一;重复投资多次;你只有100元, 输了没法再借。现在问每次以怎样的比例下注可使资金增值的平均速度最快, 或者说以最快速度变为百万富翁?

每次下100%的资金肯定不行,因为只要有一次出B面,你就输光了并且永远失去赚钱的机会。每次下10%不会输光,平均2个回合后你的资金变为       (1－1×0.1)(1＋2×0.1) =1.08倍, 但是这样赚钱是不是太慢了? 能否找到最佳投资比例? 更一般的情况是:投资项目或证券不止一种, 它们未来收益是不确定的。对于给定的未来各种收益的联合概率分布, 如何确定在不同证券上的最优投资比例?

Markowitz开创的投资组合理论取得了很大成就[6,7],他和W.F.Shape及M.Miller因此获得1990年诺贝尔经济学奖。Markowitz 的基本结论是,平均收益越大越好, 而预测的收益的标准方差（即分散程度）意味着投资风险越小越好。通过将不完全相关(最好是反相关)的证券组合在一起, 可以在平均收益降低不大的情况下,减小总体收益的方差即投资风险。Markowitz 理论有两个显然的缺陷:1)不能提供客观最优的——即从长远看,使资金增值最快的——投资比例; 2)用收益的标准方差作为风险测度通常是不合理的。

我们通过掷一对硬币来模拟两种证券的未来价格,用以说明Markowitz 理论的第二个缺陷。

例2. 设有两种证券当前价格皆为1元, 未来价格由掷硬币确定(参见图1):证券I: 同时出A面, 价格为0,亏100%(概率是1/4);否则价格为2元,赢100%(概率是3/4);证券II: 同时出B面,价格为3元, 否则价格仍为1元。

表 1 两种证券的投资价值分析(增值风险说明见第7节)

期望收益

标准方差

增值     风险

几何平均益(q=1)

优化比例(%)

优化后的几何平均收益

证券 I

0.5

0.886

1.5

0

50

1.15

证券II

0.5

0.886

0.72

1.32

³100

³1.32

图 1期望和标准方差相同但风险不同的两个证券

证券I象是配股权证, 证券II象是可换股债券。两者的期望收益和标准方差相同。但是显然前一种证券风险大, 而后一种证券风险小(参看表1)。全部资金投入前一种证券可能会破产,而全部资金投入后一种证券最坏是无利润。对于放贷、卖保险、期权、期货、垃圾债券等亏损深度可能很大的投资, Markowitz理论的上述缺陷尤为明显。

3.     投资组合数学模型和增值熵推导

令N种证券价格构成N维矢量, 设第k种证券价格有nk种可能取值, k=1,2,...,N,  则共有W=种可能的价格矢量。设第i种价值矢量为; 当前价格矢量为; 当价格矢量xi发生时,第k种证券增值倍数(或者说投入—产出比)是Rik , 则总的产出比是

(1)

其中qk是在第k种证券上投资的比率, q0是投资人所持现金比率; ;  (1+市场利率)。如考虑交易费(手续费和税金), 则Rik略有改变(不赘)。产出比R和收益(率)r的关系是R=1+r。

设做N次确定价格矢量的投资实验, R i发生的次数是mi , 则m次投资后的产出比和几何平均产出是

和                                         (2)

对后式取对数并令m→∞, 得

(3)

我们称H为增值熵,是广义熵的一种,其量纲和信息量纲相同。设log以2为底,这时H的单位为比特,表示资金的翻番数。对于多个证券的组合,提供它们收益的联合概率是困难的。可幸的是笔者找到了通过每种证券的增值熵和不同证券之间的相关系数近似表达总的增值熵, 从而求出最优投资比例的近似方法(数学方法不赘, 近似优化结果和精确结果比较见图4)。

4.     优化投资比例的最大熵方法

后面我们令Pi=P(xi), P=), q=()=), 其他类推。优化投资组合的最大熵方法就是: 给定各种可能收益的幅度和概率分布, 以及一些限制条件, 改变投资比例矢量使增值熵H达最大。使H达最大的投资比例矢量q*=(qk*)就是最优的。对于例1中的打赌问题,

(4)

其中q是下注比例,D1=R1-R0和D2=R2-R0是两种可能的相对盈亏幅度(相对于R0=1+市场利率)。投资比例矢量在这里是(q0,q1)=(1-q, q)。令dH/dq=0求使H达最大的q, 解得最优投资比例为(参看图2 ):

(5)

将例1中的,  R0=1代入上式得q*=0.25,这就是说,最优下注比例是25%。读者不妨通过反复掷硬币来检验是否这一比例最优。

图 2 单硬币打赌下注比例优化(可透支和卖空，P1=P2=0.5；r0=0.1，r0’=0.15；M=2)

由上式求出的q*可能大于1,也可能是负数。当q*>1时，表示可100%投入,如果可透支, 投入资金应是自有资金的q*倍。q*<0时，表示不买进,如果可卖空, 应卖空|q*|倍(如果保证金允许的话)。图2显示了在可卖空和透支情况下，优化投资比例随盈亏幅度r1和r2的变化(假设只有两种盈亏可能，r0’是贷款利息，M是交易金额相对自有资金的倍数)。

由式(5)可得出一个有趣结论。令D1= -1(亏损100%), R0=1, 于是q*=P2-P1/D2<1-P1。这就是说: 只要亏光资金的概率是P1, 则不管可能的盈利幅度D2有多大, 都不要投入比例超过1-P1的资金。比如说,只要亏光的概率不是0,就一定不要满仓; 只要亏光的概率达0.5, 就一定不要超过半仓——哪怕有10倍20倍利润的可能。这一结论对期货、期权、配股权证、放贷等投资特别有意义。近几年, 许多人在期货、期权、外汇等交易中损失巨大, 或者玩不了多久就赔光出场, 原因就在于他们受到可能的高额利润诱惑, 持仓比例往往过大。

5.     从新理论看分散投资效果及分散和集中的选择

俗话说,不要把鸡蛋放在一个篮子里。下面我们将说明这是有数学道理的。

图 3 投资比例和收益随篮子数目变化(N®¥)

例3. 假设用几个足够大的篮子贩运鸡蛋, 运到目的地可赢利200%(增值为原来的 3倍), 每个篮子在路上被打翻从而损失100%的概率是0.5, 不同篮子是否被打翻是相互无关的, 每个篮子各装价值多少资金的鸡蛋,可使多次贩运后,资金增值最多?

用最大增值熵方法得出的最优投资比例和几何平均收益随篮子数目的变化如图3所示。可见，篮子越多，资金越分散，资金增值速度越快。可以证明,当篮子数目为无穷大时, 投资的几何平均收益趋向于算术平均收益[4]。实际投资中,过于分散会增加操作成本, 适当地将鸡蛋分散放在五、六个篮子里,  投资组合的效果就相当不错了。

6.     从新理论看相关性对几何平均收益的影响

被选择证券的相关性对投资价值的影响已被Markowitz等人充分讨论。下面我们说明由新理论可得出类似结论, 并说明如何通过优化投资比例减少风险并提高资金增值速度。

设有3种证券(N=3)，每一种当前价格皆为1元，r0=0，第k 种证券未来价格xk 和收益rk由两个硬币的投掷结果确定：

xk=1+sk1+(e1+e2)sk2，rk=sk1+(e1+e2)sk2            (6)

其中e1和 e2是两个等可能取值为0或1的随机数(模拟掷硬币结果)，则rk有三个可能值：sk1，sk1+sk2，sk1+2sk2；概率分别是1/4,1/2,1/4；期望收益是Ek=sk1+sk2，rk相对期望收益的偏差(而不是标准偏差)是Dk=sk2。设有第j种证券，其收益和第k种证券的收益的相关性由表2中的方式确定。

表 2 用两对硬币确定两种证券的相关收益

硬币共用

情况

相关系

数ckj

B和A的收益相关情况

rk=sk1+(e1+e2)sk2

共用一对

1

rj=sj1+(e1+e2)sj2

共用一个

0.5

rj=sj1+(e1+e3)sj2

不共用

0

rj=sj1+(e3+e4)sj2

反用一个

-0.5

rj=sj1+(e_1+e4)sj2

反用两个

-1

rj=sj1+(e_1+e_2)sj2

这样,一种投资环境可用三种证券的期望收益、偏差和三者之间的相关系数(c12, c23, c13)确定。投资组合优化是要提供资金在现金和三种证券上的最优投资比例。

表3 三组相关系数

c12

c23

c13

相关I

1

0.5

0.5

相关II

0

0

0

相关III

-1

-0.5

0.5

表3显示的是三种证券未来收益期望E和偏差D不变，而三者之间相关性变化(如表4)时，电脑提供的优化投资比例。由表4和图4可更清楚看出相关性对几何平均收益的影响——越是反相关,最优投资比例越大,几何平均收益越大。

图 4 优化的几何平均收益随相关系数减小而增大(近似和精确优化结果在此重叠)

表 4 投资比例优化：几何平均收益随相关系数减小而增大

相关性

优化的投资比例

收益

现金

证券1

证券2

证券3

r0=0

E=0.2

E=-0.1

E=0.22

相关I

qk*＝

0.102

0.401

-0.165

0.331

rg*=0.0786

相关II

qk*＝

0.080

0.357

0.162

0.401

rg*=0.0974

相关III

qk*＝

0

0.454

0.408

0.138

rg*=0.1560

(表中假设r0=0,可卖空不可透支,D1=D2=D3=1)

读者是否注意到：1)虽然第三种证券的期望收益最大，但是为什么在1,2两种证券相关情况下，反而有q3*< q1*? 2)第2种证券收益的期望E2>0，卖空总的来说肯定是亏的，而在第III组数据中却有q2*>0,为什么？原来是因为证券1和2的组合可以降低风险并提高投资价值。

7.     新的投资风险测度Rr

在Markowitz 理论中，一个收益具有某种分布的证券或证券组合可以被简化为收益具有某种期望E和标准方差s的证券。类似地，我们这里也可以用两个参数代表一个证券的收益。一个仍然是期望E，另一个是Rr——我们称之为增值风险。我们假设任何一种证券或证券组合的收益等价于一个盈亏等概率的掷硬币打赌收益，Rr由下面公式定义：

0.5log(1+E-Rr)+0.5log(1+E+Rr)=H=logRg                             (7)

由此得增值风险、算术平均产出比(Ra=1+E)和几何平均产出比Rg的关系

(8)

简化后的证券便于更加直观地看出原证券或证券组合的风险和投资价值，便于在不同的证券或证券组合之间作比较。由表1数据可以看出增值风险测度Rr较之均方误差s能更好反映投资风险。

8.     投资组合优化和通信编码优化比较

通信系统中平均码长公式是

(9)

其中ci是为xi编码的码长,  mi是长度为ci的码的变化种数。Shannon离散无记忆信源无失真编码定理[8]告诉我们, 当编码使得 mi接近1/P()(对于每个i)时, 接近其最小值，它就是Shannon熵[8]。比较(3)和(9)可见, Ri 就相当于 mi , 投资比例矢量()就相当于编码规则。投资组合优化就是要改变()使H达最大(而不是最小)。

设通信系统中每单位时间传输1个码,前后无关,则H意味着信息传输速率。类似地, 对于投资组合来说,H意味着资金增值速度。设具有年增长率为rg的投资组合中每1元在T年后增值为M元, 则

,即                  (10)

比较物理学公式: 时间=距离/速度, 可见H作为速度的意义更加明显。

仿照Shannon信道容量,我们也可以定义投资渠道容量（简称投资容量）。

我们称一个收益矩阵和相应的概率分布矢量的组合(R,P)为一个投资渠道，其容量为

(11)

其中q*是最优投资比例矢量，它是P和R的函数，即q*=q*(R,P)。

比如，对于典型的掷硬币打赌，收益预测为Fr ={P1|r1, P2|r2}={0.5|D－, 0.5| D+)={0.5|E-d, 0.5|E+d},

其中r1<0<r2, E是期望收益， d等于投资风险测度Rr。则最优投资比例是q*=E/(-D1D2), 投资容量为

(12)

可见期望收益的平方E2很象通信系统中的信源信号功率，风险测度的平方Rr2很象是噪声功率。上式中E2/Rr2越大，投资容量越大。这和通信系统中信噪比越大信道容量越大是类似的。

9.     新理论应用于股票、期货、放贷及其他投资

首先我们看如何优化股市投资比例。

例4：设可选择的投资是股票和国债，每年年终调整投资比例, 股市每年的涨跌幅由掷硬币确定，收益预测为Fr={P1|r1, P2|r2}={0.5|-0.3, 0.5|0.8}，一年期国债利率是r0=0.1;  1)求股票最优投资比例q*；2)比较三种投资方式——全投股票、全投国债和按最优投资比例投资股票和国债——的资金增值情况(忽略手续费)。

解: 1)已知r0=0.1; D1= -0.3-0.1= -0.4, D2=0.8-0.1=0.7;

故最优的股票和国债投资比例是0.59:0.41。

2)按三种不同方式投资的资金增值情况如图5所示。其中假设有十个年头，每年收益预测相同，按优化的投资比例，每年年终按最优比例投资者都要转移一下资金，如果上一轮股票赚了就减仓，否则就增仓，保持适当的持股比例——这是取胜的关键。

图 5 三种投资方式资金增值比较

期货的投资比例优化和投资组合优化可从第6节内容看出一二。保险买卖和期权买卖类似, 买家可以锁住风险或利润, 但是卖家要承担风险。不同的是, 承保者的盈亏幅度由统计得到而不象期权由市场行情得到。本文理论对于保险业风险控制的意义是显然的,在此不赘。下面我们看一个贷款数量优化例子。

例5. 某金融机构借入的利率是15%, 贷出的利率是25%, 正常获利的概率是0.94, 本息全无的概率是0.06。问:1)同时贷出资金占净资产的多大比例为好? 2)如本息全无的概率增大为0.09,最优比例如何?

解:1)由题意可知R0=1.15, R1=0, R2=1.25, P1=0.06, P2=0.94;可求出D1=R1-R0= 0-1.15= -1.15;D2=R2- R0= 1.25-1.15=0.1; q*=0.25; 故贷出比例是自有资金的25%为好。2)按上式求出q*<0,故一分不贷最好。

通过计算机软件优化可以考虑多个证券、更一般的收益概率分布和相关性。下面是一个优化例子。

例6. 设有国债、流通股和转配股三种选择。国债利率是10%。一年后转配股有三种可能情况: 1)被通知长期不上市且业绩不好; 2)被通知暂不上市但业绩尚好; 3)上市。三种情况的收益分别是-0.6, 0.15, 0.85; 概率分别是1/4,1/2,1/4。流通股也有三种可能收益, 且幅度和概率相同。假设两者收益的相关系数是-0.5(因为转配股上市会导致流通股下跌, 反之导致上涨)。求三者最优投资比例和几何平均收益。

解:电脑优化表明:三者比例应为0.288, 0.356, 0.356. 几何平均收益是12.0%（而全部买入流通股的几何平均收益是-0.0054, 不赚反亏)。

10.     基于增值熵的信息价值公式

在广义信息论中[1-3],概率分主观概率(主观预测的概率),客观概率(预测后事实发生的概率)和逻辑概率。预言或命题的逻辑概率又叫可信度,取值于[0,1]。

设X,Y是表示命题(或预言)和事件的随机变量,提供关于事件的信息, 使命题 yj为真的事件构成一个集合Aj ,因为 yj的逻辑概率也就是 Aj 的特征函数，它取值于[0,1],所以Aj 是一个模糊集合。预言 yj提供的关于的信息和关于X的平均信息是

和              (13)

其中是客观概率, Q(xi )是先验主观概率,是后验(yj提供后)主观概率。如果预言根据观察数据Z=z'作出, 则有平均信息

(14)

给定概率预测矢量或者说概略分布(Q)=Q(X)和产出比矩阵R=(),可以求出最优投资比例矢量q*=q*((Q),()); 当预测由(Q)变为()＝时，最优投资比例变为q**=q**((),())。我们把信息提供前后得出的增值熵的增量定义为信息价值(平均信息价值)：

(15)

可见和有类似结构。

信息和信息价值是相对的，它们尤其和收信人对预言的理解有关。信息价值的相对性还由于收益矩阵对于不同的投资人(能使用的投资工具不同)是不同的。

11.     和Arrow的信息价值公式比较

Arrow把信息价值定义为有无信息时投资的效用差[9]。效用函数为

(16)

ri表示一种投资或打赌的第i种收益， Pi是相应的概率，ai是投资人在第i 种收益(而不是证券)上所下赌注占自己全部资金的比例， 是第i种收益发生时, 投资人获得的效用。Arrow认为用对数函数作为效用函数较为合理(和几何平均收益无关)，所以有上式。

在的限制下，当矢量(ai)=( Pi)时U达最大，为，而当投资人有了信息后，准确知道哪一种收益将要发生，从而将资金全部投到它上面时，，信息价值正好是Shannon熵,即

(17)

本文的信息价值定义继承了上述思想：信息价值被定义为有无信息时按最优比例投资产生的效用差。但是本文的投资模型与之大为不同。在笔者看来，Arrow 的投资模型是十分奇怪的。我们能够投资某一证券或项目，但是我们怎么能投资于一个项目的某种收益？式(16)要求每个都必须是正的(因为负数的对数无意义)，即任何时候都不存在亏损; 通常的投资或打赌是这样吗？有人为推销报纸组织猜股市指数游戏(猜中有奖), Arrow 的数学模型对此似乎有些适用,但是小于1会导致效用为负,这也令人费解。由于这些原因，Arrow 的信息价值公式很难被应用。

12.     新的信息价值测度用于预测评价和优化

式(15)可以用来优化预测。令,给定(Pi ),求使达最大的概率预测Q(X|=y*)，y*就是最优预测。不难证明，()=(Pi )即预测准确时，平均信息和信息价值皆达最大。可能 yj 的选择范围有限，并不存在使()= (Pi )的预言。这时，使()最接近(Pi )的 yj 就是最优预测。

例7. 一个股市指数X取值于指数集合A=[100,110,120,...]；关于X的预言集合是B={yj =“X将在 xj 附近”| j=1,2,...}; yj 的逻辑概率是，比如是以 xj 为中心，以为标准方差的山形函数, 当前的指数是 x0 ,先验概率预测是Q(X)(比方说是以 x0 为中心的正态分布函数);而事实是P(X|z’)。求预测=“X将在xj 附近”的信息价值及最优预测y*。

解：根据以集合为给定条件的Bayesian公式[2]，有

(18)

其中  Q( yj )意指谓词  yj (.)的概率，并且Q( Aj )=, 从增值熵

(19)

我们得到优化比例q*; 从增值熵

(20)

我们得到最优比例 q**。yj (根据z’作出的预测)的信息价值便是

(21)

对于每个 yj ，我们可以得到相应的q**。使信息价值或后验增值熵

(22)

达最大的 yj 就是最优预测y*。

13.     结束语

本文继承了Markowitz 和Arrow 的一些基本思想。在笔者看来, 就投资模型来说, Markowitz是对的而Arrow 错了;但是就给定概率预测是否存在客观的最优投资比例来说, Arrow 是对的而Markowitz是错的。本文理论希望能取两者之长, 同时使看来互不相关的信息论和投资组合理论在更高的层次上得到统一。

本文理论假设的投资人将多次重复投资, 假定自己的资本有限,输完无法再借。本文提供的例子都可以通过反复掷硬币或通过计算机编程反复产生随机数来检验。重复次数越多, 优化的比例较之其他比例胜率越高。可检验性是本文理论的重要特点。

为了理论联系实际, 笔者从93年开始实践于股票和期货市场, 业绩远超过平均水平。笔者已编制出初步实用的优化和检验程序，有关专著即将出版，统一预测(根据行情数据作概率预测)和决策的软件也将开始研制。欢迎批评和交流。

参考文献

[1]鲁晨光. 广义信息论用于预测的评价和优化,预测,12,3(1992),54-57

[2]鲁晨光. 广义信息论，中国科技大学出版社,1993

[3]鲁晨光. 广义熵和广义互信息的编码意义,通信学报, 5,6(1994),37-44.

[4]鲁晨光. 优化组合投资的最大广义熵方法,长沙大学学报, 总第12期(1994)41-47

[5]鲁晨光. 组合投资和信息价值新理论用于预测评价和优化, 预测,16,90(1997),40-42

[6]Markowitz, M.H.  1959: Portfolio Selection, Efficient，Diversification  of  Investments, Yale        University Press．

[7]Markowitz, M.H.  1991: Foundations of  Portfolio Theory, The Journal of  Finance,  46, 2(1991), 469-477

[8]Shannon,C.E.  A mathematical theory of communication, Bell System Technical Journal, 27(1948), 379-429 and 623-656.

[9]Arrow,K.J. The Economics of Information, Basil Blackwel Limited,1984