吴 勇

（Email: wwuu129@163.com ）

重庆涪陵区国土局

2003，10公布于潜科学网站

提要：本文基于非线性演化的溃变论观点，对生态学中一维虫口模型的连续形式的解析解与迭代形式的数值解作了对比分析，结果发现两者存在较大差别，并简要讨论了出现这种差别的原因。从而我们认为洛伦兹“混沌”是数值游戏，而不是客观实在。

关键词：虫口模型 混沌 数值游戏 解析解 溃变论

“混沌”又称“奇怪吸引子”。它是美国气象学家洛伦兹（Lorenz）于1963年在研究大气对流模型时，利用谱截断方法和在离散化的处理下应用数值计算，获得的“非周期流”。当时并未引起科学界的重视。后来，经过其他一些人的工作，尤其是1978年美国物理学家费根鲍姆（M.J.Feigenbaum）在研究生态学中的一维非线性迭代方程（虫口模型）的数值解时，发现了倍周期分叉和类似的“非周期流”，以及通向混沌道路上两个普适常数，方才使混沌引起科学界的高度重视并出现了研究热潮，一度使混沌学说发展成为非线性演化问题的代名词，而在自然科学和哲学界风靡了二十多年。尽管近几年来，混沌学说因应用遇到了困难而逐渐受到冷遇，已由80年代的混沌学说热时的“第三次革命”，称“混沌”架起了“确定性和随机性的桥梁”，并一时间兴起了“人类生活于概率的宇宙中”的论点，到目前降格为“内凛”随机性等等提法。但至今它的幽灵仍然笼罩在科学神圣殿堂的上空，似乎混沌已成为非线性演化问题的“正统理论”，自然很少有人怀疑它的正确性。欧阳首承及其研究小组（1994），根据非线性演化方程的解普遍具有不连续且逆向转化的特征，提出了预测事物转折性变化的“溃变理论”。从而，终结了300年牛顿连续体系的初值自相似演化特征。不仅为预测事物转折性变化（例如，强对流天气变化、地震、生命演化中的生与死、经济变化中的通货膨胀和经济危机、化学反应中的燃烧和爆炸等现象）找到了一条可行的理论途径；而且，符合“对立统一”的观点，也显化了我国古代“老子”和“易经”等朴素哲学思想中“远则反”、“穷则变，变则通，通则久”、“阴、阳”转换、“物有荣枯，人有生死”等观点。在这篇短文中，对涉及溃变现象的内容仅作了简要介绍，有兴趣的读者可查阅文后附的参考文献。我们还在许多文章中指出了混沌的“人为性”而非客观性，也是基于非线性演化的本质的非连续奇异性特征，已不能随意的将连续性方程像线性演化方程一样离散化，并强行数值计算；否则，将得出错误结果，就像“混沌”一样。为了说明我们的观点，本文（考虑网上发表的特点）不作长篇大论并尽量避免复杂的公式推导，仅就简单的一维非线性方程的解析解与数值解作对比分析就可证明混沌是一种数值游戏、而不是客观实在。

一维虫口模型的迭代（标准）形式为

x _n+1 = μx _n ( 1-x _n )  (1)

μ为参数。它是人们研究混沌的最简单方程，也是混沌概念得以普及和广泛传播最早的例子。

一维虫口模型的连续形式为

d x / d t = a x – bx² (2)

t代表时间，a、b为参数。它的特点是能够在任意参数范围内求出其解析解，以便与迭代形式的数值结果作比较。将（2）的左端导数离散化，得

(x _n+1 – x _n ) / Δt = a x _n– b x _n² (3)

当a、b分别取

时，式（3）与式（1）等价。

下面我们分别介绍式（1）的数值结果和式（2）的解析解，并且分析它们结果之间的区别，便可发现式（1）的数值结果和式（2）的解析解有天攘之别，那么，将式（1）的数值结果，当作式（2）（原问题）的近似，是一种认识上的严重错误。即非线性演化方程的数值解（包括混沌）仅是一种数值游戏，而并非（原问题）的客观实在。

3．一维虫口模型迭代形式的数值解

生态学中的一维虫口模型迭代形式的数值解最早是由美国物理学家费根鲍姆给出的。下面简要介绍其结果。

上面的数值结果反映了一维虫口模型迭代形式（1）的演化，这是毫无疑问的。我们的问题是它是否（近似）反映了一维虫口模型的连续形式（2）的演化过程，就像线性微分方程的解一般可以用相应离散方程的数值解逼近它一样？所幸的是，解决这个问题并不难。因为在任何参数范围内，可以解出（2）的解析解，然后将两者加以比较就可一目了然。

4. 一维虫口模型的连续形式的解析解

对于一维虫口模型的连续形式（2）可以在任何参数条件下求出解析解。先给出初始条件如下

x (0) = x₀ (5)

下面分几种情况讨论。

（Ⅰ）. （2）式中，若忽略非线性因素b的影响，可化为线性方程

d x /d t = ax (6)

解出x，得

x = a₀ e ^{a t} (7)

这里a₀为积分常数。故在线性情况下，x不是随指数连续增长(a>0) 并趋于无限;就是随指数连续减少并趋于零(a<0)。显然，指数增长模型（线性模型）与实际情况不符合。

传统上生态学中非线性动态分析是根据普里高津（I.Prigogine）的S型逻辑增长理论进行的。（图略）。它仅反映了非线性稳定演化的一面，而未反映非稳定演化的关键问题，尤其是不稳定发展反映了系统逆向转换特征而显得格外重要。所以，I.Prigogine的S型逻辑增长曲线也未反映出非线性演化的整体特征。

（Ⅱ）。将动态演化模型（2）改写为

d x /d t = b x (q - x )  (8 )

这里q = a/b。积分（8）式，得

式中b _o为积分常数，由初始状态x ₀确定。下面分不同的情况给予讨论。

(1) . 如果q = a / b>0 ( 即a >0、b >0 或a <0、b <0 ) 时，则

(b).当a < 0 时，（12）揭示了演化的转折性变化或溃变。这种情形，系统是不稳定的。溃变产生的时间为t = tc = -(1/a)ln[x ₀/ (x ₀ – q)],(图略)。故

当t > tc时，x发生溃变后的逆转（当t→∞时，N→ 0）。

x = q /{1 + [ ( q –x ₀ ) / x ₀] e ^{– a t} } (14)

在这种情况下，无论a >0还是a <0, x都为稳定变化。不同的是，当a > 0时，t→∞,x →q;当a < 0时，t →∞, x → 0(图略)

x = – q / { [ ( x ₀ – q ) / x ₀] e ^{– a t} –1 } (16)

（ⅰ）.当a > 0时，（16）为不稳定的溃变过程。其溃变发生的时刻为t = t_c = (1/a)ln[ ( x ₀ – q ) / x ₀]( 图略)。（当t→∞时，x →q）这一阶段(t > tc)与第一阶段(t < tc)的初值自相似变化不同，产生了新形式的结构系统。

（ⅱ）.当a < 0时，（16）表示x稳定地随时间增加而趋于零(图略)。

(Ⅲ?当a = 0时，动态演化模型（2）改写为

显然，当（b x ₀ ）< 0，（18）式也是溃变解。

综上所述，一维虫口模型的连续形式（2），可根据不同的参数取值范围，呈现出两类不同的时间演化，一是稳定（连续）演化，另一类是非稳定（非连续）的转折性演化---溃变，并构成了如下的认识。

首先，在线性动态演化中，指数增长（a > 0）或指数减少(a < 0)的情况，在非线性演化中并不成立。也即是说，在非线性动态演化中，a > 0也可以趋于有限（稳定），而a < 0也可以是转折性变换（不稳定）。这反映了线性与非线性的本质区别。在传统上将线性看成非线性的近似观点，是认识的误区。而作为非线性模型的S型逻辑增长理论，仅是非线性整体演化中某种条件下的特例。

0≤μ<1 时，a < 0,b > 0 ,q < 0;

μ = 1时，a = 0,b = 1/Δt , q = 0 ;

μ> 1 时，a > 0 , b > 0 , 0 < q < 1;

对于μ> 1 时，对应有a > 0 , b > 0 , 0 < q < 1，如果μ=3.2时，x _n就在0.513和0.799两个值之间跳动，即周期2解。对应的

q = a / b = (μ-1)/ μ= 0.686

显然，周期2解0.513将落在解析解的（14）中；而0。799将落在解析解的（12）中。也就是说，在参数和初值完全确定的情况下，一维虫口模型的连续形式的演化只能是按照（12）式或者（14）演化，而不能同时一会按照（12）演化、一会按照（14）演化。数值解却能同时在两支解中演化，显然是矛盾的。在数值解的过程中，随着参数μ不断增大，又会分别以0.513和0.799为中心在解析解的（12）和（14）中跳动，即出现所谓的周期4解，依次类推，就产生了数值解中的倍周期分岔。随着倍周期分岔的不断增大，就会产生计算混乱，即所谓的“非周期流”或混沌。

|x / (x – q ) |= e ^{(a t +A0)} = b ₀ e ^{a t} (d )

（ⅰ）.若x（包括x ₀）>q ,文(9)或（d）式展开为

x / (x – q ) = b ₀ e ^{a t} (e)

其中b ₀由初值确定为

b ₀ = x ₀ / (x ₀ – q ) >1

x = q / (1- b ₀^-1 e ^{- a t}) = q / {1– [ ( x ₀ – q ) / x ₀] e ^{– a t} }

此即为文中（12）式。

(ⅱ) 。 当0<x (包括x ₀)<q时，（9）或（d）式展开为

x = q / ( b ₀ ^{– 1}e ^{– a t} + 1) = q /{1 + [ ( q –x ₀ ) / x ₀] e ^{– a t} }

此即为文中（14）式。

(2 ).如果q <0, (即a > 0、b < 0或a < 0、b > 0), 则由（9）或（d）式（因为讨论种群x> 0）,有

x = – q / (b ₀ ^{– 1}e ^{– a t} – 1 ) = – q / { [ ( x ₀ – q ) / x ₀] e ^{– a t} –1 }

此即为文中（12）式。

文中主要公式推导完毕。